Меню
Артқа » » » » Материал жариялау
Мёбиус лентасы
  • 31.08.2016
  • 396 Көрсетілім
  • Талқылау
  • Жарияланған материалдың жеке номері: 19399

3-ші мақала

Мёбиус лентасы

Мёбиус лентасы – топологиялық фигура, бір шеті, бір жағы бар, оны кеспейінше немесе желімдемейінше ол өзінің қасиетін жоғалтпайды. Өмірде, практикада кеңінен қолданылады.
Геометрия-грек сөзі, қазақша аудармасы «жер өлшеу» деген мағынаны білдіреді,фигуралардың қасиеттерін зерттейді.Басқа ғылым салалары сияқты геометрия да бөлімдерге бөлінеді.
I Планиметрия (лат. сөзі, планум - бет, жазықтық + метрия), жазықтықтағы фигуралардың қасиеттерін зерттейтін геометрияның бөлімі (үшбұрыш, квадрат, шеңбер, дөңгелек және с.с.)
2.Стереометрия (грек сөзі, стереос - кеңістік + метрия), кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттейтін геометрияның бөлімі (шар, куб, параллелепипед және с.с.) З.Топология (грек сөзі. топос - орын, тұрған орын + логия) деформация кезінде (созылу, сығылу) өзгермейтін, желімдеуге, бөлуге болмайтын фигуралардың қасиеттерін зерттейтін қазіргі геометрияның ең «жас» бөлімі болып табылады.
Топологияның негізін салушылар неміс оқымыстысы Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф, Павел Сергеевич Александров (1896-1982) болды.

1. Топология

Жоғарыда айтылғандай, топология – үздіксіз деформация кезінде (созылу, сығылу) өзгермейтін(олар резеңкеден жасалған сияқты), желімдеуге, бөлуге болмайтын фигуралар мен денелердің қасиеттерін зерттейді.
Топологиялық көзқараста баранка пен кружканың айырмасы жоқ. Бір бөлек резинканы сығу және созу арқылы осы денелердің бірінен келесісіне өтуге болады. Ал, баранка мен шар – әр түрлі объектілер; саңылау жасау үшін резинканы жырту керек. Топологиялық фигураларға мына фигураларды жатқызуға болады:


Ъ

Әріптердің арасында топология бойынша бірдей фигуралар бар.
А-Д, Г-С, С-П, Л-И, 3-Э, Т-У.

Топологиядағы тең емес фигураларға төмендегідей мысалдар:



Екінші фигура бірінші фигурадағы С1 мен Д1, С2 мен Д2 нүктелерін желімдеу және АВ кесіндісін созу арқылы алынады. Геометрияда қатты денелердің теңдігі өлшемдері бойынша анықталса, топологияда фигуралардың теңдігі өзгеше анықталады. Топологияда фигуралардың өлшемдері болмайды. Топологиядағы ең белгілі объект Мёбиус лентасы екені мәлім.

2. Тарихи мәліметтер

Жұмбақ сырлы және атақты, әйгілі Мёбиус лентасын (кейде Мёбиус жапырағы деп те атайды) 1858 – жылы «математиктер королі» Гаусстың шәкірті, неміс геометрі Август Фернанд Мёбиус (1790 - 1868) ойлап тапқан. Мёбиус алғашында , математиканың дамуына зор еңбек сіңірген, Гаусс және көптеген басқа ғалымдар сияқты, астроном болды. Ол кезде математикамен шұғылдануға қолдау жасалмайтын, ал астрономия болса, олар туралы ойламау үшін жеткілікті ақша берді және өзінің ойланып толғануына уақыт қалдырады. Мёбиусте ХІХ ғасырдағы ірі геометрлердің бірі болды. Оның 68 жасында таңқаларлық тамаша жаңалық ашуға қолы жетті. Бұл жаңалық бір жақты беттер, олардың бірі – Мёбиус лентасы, жөнінде еді. Бұл ой оның басына үй қызметіндегі әйел лентаны дұрыс тікпегенін көргенде келген.

3. Мёбиус лентасы және оның қасиеттері

«Бет» дегеніміздің не екендігі туралы біздің әрқайсымыздың интуициялық түсінігіміз бар. Парақ қағаздың беті, класс қабырғасының беті, жер шарының беті барлығымызға белгілі. Осындай әдеттегі ұғымда күтпеген, тіпті құпия бірдеңе болуы мүмкін бе? Мысалы Мёбиус лентасы ондайдың болатындығын көрсетеді. Мёбиус лентасы - бір рет бұралып, ұштары желімделген жіңішке қағаз лентасы.



Оның қасиеттерін білу, ұғу үшін, мен бірнеше тәжірибелер жасап, оны екі топқа бөлдім:
I топ

Тәжірибе № 1. Мёбиус лентасының бір жағын боядым.
Нәтижесі. Мёбиус лентасы түгел боялып шықты.

Рихард Курант пен Герберт Робинс «Математика деген не ? » атты тамаша кітапта: « Егер кімде – кімнің Мёбиус лентасы бетінің «тек бір» жағын ғана бояғысы келсе, ең жақсысы оны түгелдей шелектегі бояуға батырып алсын », - деп жазды.

Тәжірибе № 2. Кәдімгі сақинаның ішкі жағына қағаз өрмекшіні, ал сыртқы жағына қағаз шыбынды отырғызып, тек қана сақинаның шетінен шығып кетпейтіндей етіп, олардың еркін қозғалуына мүмкіндік бердім.
Нәтижесі. Қағаз өрмекші шыбынға жете алмайды.

Тәжірибе № З. Қағаз өрмекші мен қағаз шыбынды Мебиус лентасына отырғызып, тек қана шетінен шығып кетпейтіндей етіп, олардың еркін қозғалуына мүмкіндік бердім.
Нәтижесі. Өрмекші шыбынға қарағанда жылдам өрмелейтін болса, өрмекші шыбынды жеп қояды.

Тәжірибе №4. Мен қағаздан кішкене баланы қиып алдым да, оны Мёбиус лентасының ортасындағы пунктирдің бойымен жүргізіп қоя бердім
Нәтижесі. Ол шыққан жеріне қайтып келді, тек төңкерілген түрде.

ІІ топ

Мұнда Мёбиус лентасын қиюға байланысты тәжірибелер, нәтижелерін кестеге жаздым.

№ Тәжірибенің жасалуы
Нәтижесі

1.
Кәдімгі сақинаны ұзына бойы ортасынан қидым.
Ұзындығы сондай,ені екі есе жіңішке кәдімгі 2 сақина алдым.
2. Мёбиус лентсын ұзына бойы ортасынан қидым. Бұрынғыдан екі есе жіңішке , бірақ екі есе ұзын, екі рет бұралған 1 сақина алдым.
3. Ені 5 см болатын Мёбиус лентасын шетінен 1 см қашықтықтан ұзына бойы қидым. Бір бірімен ілініскен 2 сақина алдым: 1) Ұзындығы бастапқымен бірдей, ені 3 см. 2)Ұзындығы бастапқыдан екі есе ұзын, ені 1 см әрқайсысы екі реттен бұралған Мёбиус лентасы.
4. Ені 5 см болатын Мёбиус лентасын шетінен 2 см қашықтықтан ұзына бойы қидым. Бір бірімен ілініскен 2 сақина алдым: 1) Ұзындығы бастапқымен бірдей, ені 1 см. 2)Ұзындығы бастапқыдан екі есе ұзын, ені 2 см әрқайсысы екі реттен бұралған Мёбиус лентасы.
5. Ені 5 см болатын Мёбиус лентасын шетінен 3 см қашықтықтан ұзына бойы қидым. Бір бірімен ілініскен 2 сақина алдым: 1) Ұзындығы бастапқымен бірдей, ені 1 см. 2)Ұзындығы бастапқыдан екі есе ұзын, ені 2 см әрқайсысы екі реттен бұралған Мёбиус лентасы.
6. Ені 5 см болатын Мёбиус лентасын шетінен 4 см қашықтықтан ұзына бойы қидым. Бір бірімен ілініскен 2 сақина алдым: 1) Ұзындығы бастапқымен бірдей, ені 3 см. 2)Ұзындығы бастапқыдан екі есе ұзын, ені 2 см әрқайсысы екі реттен бұралған Мёбиус лентасы.

7.
Лентаның екі жағына шеттерінен бірдей қашықтықта екі пунктир сызық жүргізіп, сонан соң Мёбиус лентасын желімдеп, пунктир сызықтар бойымен қидым.
Бір бірімен ілініскен 2 сақина алдым: Олардың біреуі бастапқы лентадан екі есе ұзын, ені үш есе кем және екі қайтара бұралған, ол бастапқы лентаның шеттерінен шықты. Екіншісі- ұзындығы бастапқымен бірдей, ені үш есе кем, Мёбиус лентасының орталық бөлігінен тұрады.

Тәжірибелерден шығарған қорытындым:

1. Мёбиус лентасының бір ғана шеті бар.
2. Мёбиус лентасының бір ғана жағы бар.
3. Мёбиус лентасы - топологиялық объект. Барлық топологиялық фигуралар сияқты Мёбиус лентасы да өзінің қасиеттерін жоймайды, тек оны бөліп тастамаса, бөліп алып әрқайсысын жеке – жеке желімдемесе.
4. Мёбиус лентасының бір шеті, бір жағы оның кеңістіктегі орнымен, ара қашықтықтар ұғымымен байланысты емес.

4. Мёбиус лентасының қолданылуы

1. Мёбиус лентасы тек математиктерге ғана емес, сиқыршыларға да ұнатады. 100 жылдан астам уақыт бойы Мёбиус лентасы әр түрлі фокустар мен ойын – сауықтарда қолданылып келеді. Мұның тамаша қасиеттерін тіпті цирктерде Мёбиус лентасы тәрізді етіп желімделген ашық түсті ленталармен көрсетілді. Егер Мёбиус лентасын ортасынан ұзына бойы кессе, бір ұзын екі жақты, алғашқыға қарағанда екі есе бұралған лента шығады, оны сиқыршылар «ауған лентасы» деп атайды. Сиқыршы темекі тартып тұрып, шоғымен әр лентаның ұзына бойы ортасына жағылған калий селитрасына тигізеді. Отты жол 1-ші лентаны ұзынырақ лентаға, ал екіншісін – бір – біріне киілген екі лентаға айналдырады. ( Бұл жағдайда сиқыршы Мёбиус лентасын ұзына бойы ортасынан емес, енін үштен бір бөлікте бөледі).
2.


Қайта өңдеудің халықаралық символы Мёбиус лентасын көрсетеді.

3. Вашингтондағы тарих және техника мұражайының кіре берісінде, жартылай бұралған темір лента жайлап айналып тұр. Мёбиус лентасы бетінің таңғажайып қасиеттеріне негізделген техникалық жаңалықтар да аз емес. Патенттік қызмет көптеген өнертабыстарын тіркеген, соның ішінде көбінің негізі бір жақты беттер. 1923 жылы дыбысты кинолентаның катушкасын ауыстырмай бірден екі жағына да дыбыс жазуды ұсынған өнертапқыш Ли де Форсуға патент берілді. Лентаны бұрап сақина қылып екі жағын желімдегенде, кассетаның бірден екі жағына да дыбыс жазып немесе ақпараттар оқуға болатын магнитафонның кассеталарын ойлап шығарды. Яғни, кассетаның көлемін үлкейтуге, соған сәйкес дыбыс тыңдау уақытын да ұзартуға болады.

4. 1969 жылы кеңестік өнертапқышы А. Губайдуллин екі жағымен бірдей істейтін өңдеуіш тұйықталған лентаға патент алады.

5. Матрицалық принтерлердің бояу лентасы да Мёбиус лентасы тәрізді болды, жарамдылық мерзімін ұзарту үшін.

6. Американдық физик Ричард Дэвис реактивтілігі нөлге тең болатын электр кедергісін жасап шығарған.

7. Никола Тесла, 1900-ші жылдардың басында ашылған меншікті индуктивтілігі болмайтын, электронды элемент – Мёбиус резисторы деген құралға патент алған. Патент US#512.340. Оның жүйесінде көлемді электр тогын сымсыз тасымалдауға болатын электромагнитті катушка.

8. ДНК спиралі де Мёбиус лентасының бөлігі деген тұжырым бар. Сондықтан да генетикалық кодты қабылдау және оны шешу өте қиын.

9. 1971 жылы Уралдан шыққан өнертапқыш П.Н.Чесноков Мёбиус лентасы түріндегі фильтрді қолданды.

10. Мёбиус лентасы графиктік өнер мен мүсіншілерге де шабыт берді. Осы математикалық объектіні ерекше ұнатып және оған өзінің бірнеше литографиясын ұсынған суретшілердің бірі – голландиялық Мауриц Эшер. Белгілі гравюрасының бірі - тоғыз қызыл құмырысқа Мёбиус лентасы бетімен жорғалап бара жатқан – «Мёбиус жолағы - ІІ».

11. Мёбиус лентасы сонымен қатар үнемі ғылыми – фантастикалық әңгімелерде де кездеседі. Мысалы, Артур Кларктың « Қараңғы дуал » әңгімесі. А.Дж. Дейчтың «Мёбиус жолағы» әңгімесі, Бостон метросында жаңа жол желісін жасайды, мұнда маршруттар шиеленісіп, Мёбиус лентасына айналып кетеді де, бұл желіден поездар жоғала бастайды.

Таңғажайып беттің қолданылуының бұл тек аз ғана бөлігі.

Мёбиус лентасы бетімен мәңгі жүре беруге болатындықтан, Мёбиус лентасын кейде шексіздік ( ) белгісінің арғы атасы деп те айтады. Бұл символды шексіздік ретінде белгілеу, Мёбиус лентасы ашылғанға дейін 200 жылдай бұрын қолданылғандықтан, бұл шындыққа жанаспайды.

5. Ашық проблемалар

Мёбиус лентасын жасау үшін қағаз жолағының қандай формасын алу керек деген сұраққа әдетте мынадай жауап күтіледі: Жолақ жіңішке және ұзын, яғни ұзындығының еніне қатынасы өте үлкен болуы керек. Мысалы, қағаз квадраттан Мёбиус лентасын ижасай алмаймыз деуге болады. ( Мыжуға, бүктеуге болмайды деп есептесек).
Жолақтың енін 1, ұзындығын k деп алсақ Мёбиус лентасын жасауға болады. Мёбиус лентасын k – дан үлкен болатын жолақтан алуға болатын, ал k – дан кіші болса алынбайтын, k саны бар. Ол k саны 1,57...  k   1,73... екені дәлелденген. Осыдан мынадай проблема туады:
1. k – ның ең кіші мәні қандай ? Мұның әлі күнге дейін шешімі табылмаған.
2. Бүктеу арқылы алынған Мёбиус лентасын сипаттайтын формула бар ма ? Тәрбие.орг сайтынан Мёбиус лентасы Авторлық бағдарлама материалды тегін жүктеп сабақ барысында қолдануға рұқсат етіледі. Жарияланған материалға tarbie.org сайтының әкімшілігі жауапты емес

Авторы: Акмарал Бексултан

Ұнады ма? Достарыңмен бөліс. Қалаған әлеуметтік желінің үстін бас

Бөлімі: Авторлық бағдарлама | Логин: Ұстаз
Көрсетілім: 396 | Жүктеулер: 4
Барлық пікірлер: 0
avatar